波动拖累Volatility Drag

涨跌都按变化后的本金计算，同幅涨跌会亏钱，简单平均掩盖了损耗。

金融危机后的大反弹，仍没把美股投资者送回原点。2010年2月，美国奥马哈的伯克希尔公布了巴菲特的年度股东信。信中的业绩表显示，计入股息的标普500收益率，2008年是负37%，2009年是正26.5%。把起点换成100美元，第一年结束剩63美元。第二年的上涨落在这63美元上，年底只有约79.7美元。满眼都是反弹的好消息，账户却仍比两年前少了约五分之一。

为什么成立

涨回来时，本金已经变小

涨跌的百分比相同，增减的金额却不同。假设你投入100元，先跌50%，剩50元。随后涨50%，只赚回25元，余额变成75元：

$100 \times (1 - 50%) \times (1 + 50%) = 75$

白话说，跌掉的是100元的一半，涨回的是50元的一半。要从50元回到100元，必须涨100%。

连乘才能算出钱真正长了多少

没有追加或取出资金、收益继续投入时，各期收益率要连乘。设 $n$ 个等长时期的收益率为 $r_{t}$ ，每期均高于负100%，复合增长率为：

$g = [t = 1 \prod n (1 + r_{t})]^{1/ n} - 1$

它把实际涨跌换成一个固定的每期收益率，使两者到终点时的钱一样多。前例的简单平均收益是零，复合增长率却约为负13.4%：连续两期各跌这么多，也会从100元变成75元。

平均收益相同，平稳增长能留下更多钱

同为平均每期赚10%，先涨30%再跌10%，100元最终变成117元。连续两期各涨10%，最终是121元。两条路线的平均数相同，结果相差4元。

几何平均不超过算术平均；只有各期收益率完全相同，两者才相等。这道差距就是波动拖累。比较增长路线时，简单平均说的是各期数字的平均，复合增长率说的是你手里的钱长了多少。

出处

波动拖累来自投资数学，基础是算术平均与几何平均的关系，没有公认的单一命名者。1959年，哈里·马科维茨在《投资组合选择》中专章讨论长期收益及几何平均。这个模型靠连乘和均值不等式成立；先跌一半再涨一半，就是最直接的算术证明。

换个领域看

宏观经济

反弹还没复原

高增长率可以伴随着低于原点的产出。英国国家统计局2022年2月的初步数据称，实际GDP在2020年下降9.4%，2021年增长7.5%。按这组数据，把2019年产出记为100，2020年是90.6，2021年约为97.4。企业看市场是否恢复，应看产出水平，不能只看反弹年份的增长率。

商业

客户涨跌留缺口

客户数按当前规模涨跌时，等幅增减会留下缺口。假设你经营一家健身房，年初有200名会员，装修停业后流失20%，剩160人。重开后的促销让会员数增长20%，也只到192人。店长若把两次百分比相抵，就会高估恢复程度；要回到200人，必须从160人的底数增长25%。

技术

提速未抵消减速

软件性能的百分比改善也受当前基数限制。假设你维护一个接口，在相同机器和测试负载下，吞吐量原为每秒1000次请求。新增校验后下降20%，变成800次。随后优化使当前吞吐量提高20%，最终是960次。汇报这轮改动时，把两次百分比相加会得到零，把前后实测值相比才能看出仍少了4%。

遇事时问自己

这次涨跌是按当时的余额或规模算百分比，还是每次增减固定数量？
把每期的增长倍数连乘后，最终还剩多少钱、多少客户或多少产出？
已经损失的部分，要让剩余数量增长百分之几才能补回来？
对方给出的平均收益率，是简单平均，还是能复现最终余额的复合增长率？
比较两条增长路线时，我是否同时看了平均收益和波动幅度？

边界与误用

这个模型适用于连续按当前数量计算百分比的变化；固定增减金额用加减法，先减50元再加50元就会复原。有波动也能赚钱：平均收益足够高时，复合增长仍为正。比较平均收益不同的方案，不能只凭谁更平稳决定谁更好。仅把同一组收益率换个先后顺序，在没有资金进出的账户里，最终余额完全相同。追加投资或持续提款时，每笔钱经历的涨跌不同，应按发生时间逐期更新余额。

练一练

你核对两只基金过去两年的成绩。甲第一年涨40%，第二年跌10%；乙两年都涨12%。假设两年前各投入10万元，收益继续投入，期间没有资金进出，两只基金的费用相同。

只比较两年后的余额，哪种判断最站得住？

你负责一个合同原价为50万元的项目。客户追加需求，支付合同原价的10%作为变更款；项目验收迟延，又扣合同原价的10%作为违约金。合同原价始终未变，两笔款项均已结算。

核对最终到账金额时，哪种判断正确？

一座灌溉蓄水池现有100万立方米水。调度方案分两步：先放出当时存水量的20%，再调入相当于执行时存水量25%的水。两步之间没有降雨、蒸发或其他进出，调换次序时也按各步执行时的存水量计算。

关于最终存水量，哪种判断正确？