凯利公式Kelly Criterion

凯利公式用胜率和盈亏赔率，算出让本金长期增长最快的下注比例。

有了胜算，数学家索普仍然按优势大小控制下注。1961 年春，爱德华·索普带着资助者提供的 1 万美元，到美国内华达州里诺和太浩湖的赌场验证算牌方法。他根据已经出现的牌，判断剩余牌对玩家有多有利，再调整下注金额。牌局有利，也不代表下一局必胜；押得太重，一次失手就会吃掉许多局的成果。这趟试验赢了钱，但他的方法里有两道计算：先找出值得赌的牌局，再决定拿多少本金去赌。

为什么成立

押得更多，长期反而赚得更少

同一个有利赌局，下注比例能改变本金的增长方向。假设你反复下注，胜率为 60%，赢了净赚赌注的同等金额，输了损失全部赌注。每轮都押当时本金的固定比例。

设想十轮中六胜四负，押 20% 时，本金变成 $1. 2^{6} \times 0. 8^{4} \approx 1.22$ 倍；押 50% 时，只剩 $1. 5^{6} \times 0. 5^{4} \approx 0.71$ 倍。胜负次数相同，前者赚了，后者亏了。

凯利最大化的是本金的长期增长率

本金每轮相乘，取对数后就能逐轮相加。假定各轮独立、胜率和赔率不变，剩余资金不生息。设胜率为 $p$ ，赢时每元赌注净赚 $b$ 元，每轮押本金的比例为 $f$ ：

$g (f) = p ln (1 + b f) + (1 - p) ln (1 - f)$

白话说，就是把赢时和输时的本金倍数取对数，再按概率加权。最大化这个值，得到：

$f^{*} = \frac{b p - ( 1 - p )}{b}$

它把胜率和回报合在一起，给出长期增长最快的比例。前面的赌局中， $b = 1$ ，所以 $f^{*} = 20%$ ；每轮按最新本金重算赌注。若结果小于或等于零，就不下注。

超过这个比例，增加的赌注会压低长期增长率；低于它，则用部分增长换取较小的起伏。凯利算的是该押多少，不负责证明你有胜算。

出处

凯利公式出自信息论。贝尔实验室的约翰·凯利于 1956 年发表《信息率的新解释》，证明利用信息下注时，最大化期望对数财富能优化长期增长。索普随后把它用于二十一点，并在 1962 年出版的《击败庄家》中介绍了这种资金管理方法。

换个领域看

投资

仓位不是赌注

亏损幅度不同，下注比例就不能直接当成持仓比例。假设你有一套反复结算的策略：每轮六成概率涨 50%，四成概率跌 50%。把本金的 40% 投进去，整笔本金就会涨或跌 20%。这相当于机制里的最优赌注；照搬 20% 作为持仓比例，会少算一半。

商业

畅销也别囤满

销售成功率高，也未必值得投入大半现金。假设你经营节庆摊位，每批货有七成概率售完，净赚进货成本的一半；否则全部报废。按这组假设，凯利比例只有 10%。你每次从最新的经营资金中取一成进货，而不会因七成胜率就拿七成现金压货。

行为实验

好胜算仍输光

知道胜率的人，也会把赌注下得过大。哈加尼和杜威在 2016 年公布的实验中，给参与者 25 美元，让他们用半小时押一枚正面概率为 60% 的电子硬币。61 名参与者多为金融专业学生或从业者，却有 28% 输光本金。有利机会没有替他们解决下注大小。

遇事时问自己

我的胜率和盈亏数字来自可重复的记录，还是来自对这次机会的信心？
赢一轮净赚多少，输一轮最多损失多少，这两项是否都按同一笔投入计算？
我押的是最新本金的多少比例，连输之后会不会仍按原金额下注？
把估计的胜率往下调、损失往上调后，算出的比例还剩多少？
我能否持续重复这类机会，还是这次投入会改变以后参与的能力？

边界与误用

凯利适合能重复、盈亏可量化、概率估计可靠的机会。股票有多种回报结果，不能把“看涨概率”和目标价塞进二元赌局公式；同时下注也不能逐项计算后直接相加。职业、健康和家庭承诺无法按本金倍数结算，只适合借用控制投入的思路。最常见的误用，是把乐观估计算出的满凯利比例当成精确指令。概率估计有误或难承受大幅回撤时，可采用半凯利等较低比例；缩小仓位仍无法把负优势变成正优势。

练一练

林宁有8万元专门用于一套按周结算的交易策略。每周有50%的概率净赚投入金额的两倍，否则投入全部损失。各周相互独立，概率和回报不变，闲置资金不生息。她算出每轮投入最新本金的25%，但首周亏掉了2万元。

若继续追求这笔资金的长期增长，第二周哪种做法最站得住？

一家软件公司试做按效果付费的数据清洗项目。达标就收回成本，再净赚同等金额；不达标则成本全部损失。新流程只做过10单，其中6单达标。负责人据此算出应投入20%的流动资金，随后减到10%，认为已经留足余地，无需再检查成功率。

对负责人的判断，哪项评价最站得住？

一对夫妻考虑带孩子搬去另一座城市。他们估计，搬家后有70%的概率让家庭年收入增加50%，否则年收入下降20%。丈夫把50%除以20%当作盈亏赔率，算出58%，据此主张拿家庭存款的58%支付搬家和购房首付。

这项推算中，哪一步最需要纠正？