半衰期Half-Life

每过固定时间，剩余量减半：前期消失得快，后期拖着长尾。

人死后，体内的碳十四就开始替遗体计时。1991年9月19日，德国登山者赫尔穆特和埃里卡·西蒙在意大利与奥地利交界的阿尔卑斯山发现了一具冰封遗体，后来被称为“冰人奥茨”。研究者用碳十四测年，确认他生活在五千多年前。活着时，人体不断从食物中补入碳；死后，补充停止，碳十四继续衰变。每隔同样长的一段时间，剩下的碳十四又减少一半。研究者测出剩余比例，再结合校准资料，把这具遗体放回了他所属的时代。

为什么成立

每次减半，减掉的是当时剩余的一半

假设一份样品的半衰期是一天，起初含有100毫克目标物质。一天后剩50毫克。两天后剩25毫克。三天后剩12.5毫克。相同时间里，减少的比例相同，减少的数量却越来越小。这就是曲线先陡后缓的原因。

每个原子核的衰变概率不随年龄增加

对同一种放射性核素，尚未衰变的原子核在下一小段时间内衰变的概率保持不变。单个原子核何时衰变是随机的；数量足够多时，总量就呈现稳定的指数衰减。剩下的原子核越多，同一时间内发生的衰变就越多。这个关系写成：

$\frac{d N}{d t} = - λ N$

白话说，每一刻的减少速度都与当时的剩余量成正比， $λ$ 决定衰减快慢。由此得到：

$N (t) = N_{0} 2^{- t / T_{1/2}}, T_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$

其中， $N_{0}$ 是初始量， $T_{1/2}$ 是半衰期。经过几个半衰期，就把初始量连续除以几次二。

跨领域使用，要找到按剩余量减少的机制

一级化学反应中，反应物的消耗速度与其浓度成正比，也能得到这条曲线。把模型用于客户流失或信息失效时，同样要检查：每段时间失去的，是否都是剩余部分的固定比例。若成立，半衰期就能把不同衰减速度换成一个容易比较的时间尺度。

出处

放射性衰变与一级化学反应共享指数衰减规律。1850年，维尔赫尔米研究酸催化蔗糖转化，已推导并用实验验证反应物按指数规律减少。卢瑟福与索迪在1902—1903年提出放射性衰变理论。1949年，威拉德·利比发表碳十四测年研究，把这条规律变成了考古学的计时工具。

换个领域看

航天工程

探测器慢慢缺电

旅行者一号于1977年从美国发射，靠钚238衰变释放的热量供电。钚238的半衰期约为88年：过了这段时间，燃料产生的热功率降至初始值的一半。热电转换器也会老化，电功率还会进一步下降。随着供电减少，任务团队陆续关闭部分仪器，把有限的电力留给仍在工作的设备。

商业

客户会逐年减半

假设你经营订阅服务，追踪同一批1000名付费客户，发现每年都有一半留下。第一年剩500人，第二年剩250人。这批客户的半衰期就是一年。估算他们未来贡献的收入时，不能把首年的收入原样延续下去；同时追踪新签客户，才能看清增长是否掩盖了老客户的持续流失。

个人生活

咖啡喝完仍在

假设你下午两点喝下含100毫克咖啡因的咖啡，身体清除它的半衰期是五小时，也没有再摄入。晚上七点，体内还剩50毫克。到午夜，仍剩25毫克。杯子早已空了，咖啡因却没有随之消失。把摄入时间往前移几个小时，比只盯着睡前有没有喝咖啡，更能看清夜间还剩多少。

遇事时问自己

我追踪的是哪一批存量，中途有没有新增、补充或移出？
相等时间内减少的是固定数量，还是剩余量的固定比例？
连续几个时间段算出的半衰期是否接近，条件改变后是否仍然成立？
我要等到剩余量低于什么阈值，这相当于几个半衰期？

边界与误用

只有衰减速度与剩余量成正比、比例保持稳定时，固定半衰期才适用。每天固定清走十箱库存，会形成直线；不断补货的库存，也不能直接套用纯衰减曲线。混合了快慢不同的成分，整体半衰期会随时间改变。咖啡因的清除速度会随个体、药物和身体状态变化；客户留下的比例也会受价格和服务影响。最常见的误用是把“持续下降”都画成指数曲线，再把半衰期当成清零期限。经过十个半衰期仍剩约千分之一，是否足够低，要由任务的阈值决定。

练一练

一批800台门店终端需要升级。每台尚未升级的终端，每周都有50%的机会联网并自动完成升级。各周条件相同，没有新增终端。两周后，还有200台未升级。

第三周结束时，哪种预测最站得住？

你准备买下两份专利许可合同的收款权。两份合同今年各支付100万元。合同约定，甲以后每年比上年少付50%，乙少付25%，均持续十年。分析师发现下一年合计收入减少37.5%，便用这个比例预测剩余各年。

怎样修改这份收入预测最合理？

你在家里的小房间测试净化器。停止产烟并关窗后，颗粒物浓度从160降到80用了10分钟，再降到40又用了10分钟。后续条件不变，仍按相同比例下降。你的结束标准是读数降到10及以下。

从当前读数40开始，最早还要等多久才能达到标准？