凸性与非对称回报Convexity and Asymmetric Payoffs

把失败的损失封顶，让成功的收益继续增长，少数大胜就能抵过多次小败。

彼得·蒂尔的一笔早期投资，把失败和成功放在了不同的尺度上。2004 年，在美国硅谷，马克·扎克伯格为刚创办的 Facebook 寻找资金，蒂尔投入了 50 万美元。这笔资金后来转为股权：若公司倒闭，持股可以归零；若公司不断壮大，收益就能远超本金。2012 年 Facebook 上市，早期持股已大幅升值。最初投入的资金有明确数额，持股带来的收益却没有预设上限。

为什么成立

下跌被截住，上涨被保留

花每股 5 元买入一份看涨期权，约定到期能按每股 100 元买股票。到期股价为 80 元或 100 元，都亏 5 元；股价为 120 元，行权所得扣掉买入费，净赚 15 元。

每股净收益写成：

$f (S) = max (S - 100, 0) - 5$

这里 $S$ 是到期股价。白话说，股价低时最多亏掉买入费；超过约定价格后，每多涨一元，净收益就多一元。下行有底，上行没有合同规定的顶。

曲线向上折，让同样的起伏产生不同的得失

凸性指收益曲线的斜率随结果改善而增大。上例中，股价低于 100 元时，斜率为零；超过 100 元后，斜率变为一。股价确定为 100 元，净亏 5 元。若股价以相同概率落在 80 元和 120 元，平均股价仍为 100 元，平均净收益却变成 5 元：两种结果分别亏 5 元、赚 15 元，取平均即可。平均股价相同，这次起伏跨过了曲线的折点，上涨带来的收益超过下跌增加的损失。

大胜能否抵过小败，取决于胜率与成本

一次下注失败亏 100 元、成功净赚 900 元，若成功概率为 $p$ ，平均净收益为：

$900 p - 100 (1 - p) = 1000 p - 100$

白话说，胜率超过 10%，平均收益才为正。胜率为 20% 时，每次平均赚 100 元；胜率为 5% 时，每次平均亏 50 元。回报曲线告诉你赢输各有多大，概率和成本决定这笔下注值多少钱。

出处

这个模型结合了数学的凸函数与金融的期权回报，并非由一人一次提出。詹森在 1906 年给出詹森不等式，说明平均条件相同时，凸函数如何从起伏中受益。1973 年，布莱克、斯科尔斯与默顿建立现代期权定价理论；买入看涨期权是有限损失、开放上行的标准实例。

换个领域看

商业

作品保留上行

保留作品权利，能让一次写作持续带来收入。2011 年，美国程序员安迪·威尔自行发布《火星救援》，作品随后获得出版机会，并在 2015 年被改编成电影。最初投入的是写作时间，同一份作品后来带来图书与改编收入。若作者以固定费用卖断全部权利，后续成功带来的收益便归买方。

技术

插件按份收费

限定投入、按份销售，能让开发者保留销量增长的收益。一位开发者拿出两个周末和 2000 元，制作设计软件插件。无人购买就结束项目；有人购买则按份收费，后续支持由收入支付。同一份代码能卖给更多用户，开发工时无需随销量等比例增加。开发者在销售条款里限定兼容范围和支持期限，让承诺留在预算内。

个人职业

申请更好岗位

在保留现有工作的前提下申请更好的职位，一次成功能抵过多次准备成本。一位工程师用周末整理作品，申请薪资高出三成的岗位。被拒绝，损失的是准备时间；被录用，则获得持续的收入增量。她把每次申请限定在两天准备之内，将时间花在符合自身经验、薪资提升又足够大的岗位上。

遇事时问自己

最坏结果发生时，我会损失多少钱和时间，什么合同条款或执行安排把它封顶？
结果越来越好时，我的净收益会继续增长，还是被固定报酬、分成上限或新增成本截住？
差、中、好三种结果各能带来多少净收益，收益曲线在哪里向上折？
按保守的成功概率估计，扣除买入费、维护费和失败成本后，这笔下注的平均收益是多少？
在第一笔大收益出现之前，反复下注的累计投入会达到多少？

边界与误用

回报不对称不等于下注划算：彩票亏损有限、奖金巨大，售价与中奖概率仍能让平均收益为负。普通股票最多亏掉本金，但净收益随股价走直线，没有看涨期权那种向上折的回报。止损单遇到跳空会越价成交，无法严格封顶损失；借款、担保和持续追加投入也会抬高损失上限。成本不变时，把每种原有结果展开成均值不变的起伏，凸回报的平均收益不会降低；严格提高还要求起伏涉及曲线的非线性部分。仅均值相同、方差更大不足以保证这一点。“赚得无限”指没有预设上限，兑现收益仍受市场规模与成本约束。

练一练

一家食品厂请制冷顾问改进冷却系统。顾问可选两种合同：固定收取18000元；或收取10000元，再拿年度节能金额超过10万元部分的20%。两种合同的交付成本都固定为15000元，交付后无需继续服务。试验显示，年度节能金额有一半概率为0元，一半概率为20万元。

只比较平均净收入，哪种判断最站得住？

一家金饰店的店主另用个人资金，以每克600元买入100克实物黄金，不借款，也没有其他费用，准备一年后卖出。他比较两种预测：一种是届时每克价格确定为600元；另一种是有一半概率为480元，一半概率为720元。他认为，最多亏掉买入的钱，涨价却没有预设上限，所以第二种预测下平均收益更高。

店主的判断在哪一步出了错？

一位婚礼摄影师考虑参加摄影协会每月举办的评奖。每次制作和寄送作品要花600元，获奖可得6000元，未获奖没有收入。按往届同水平参赛者的表现估计，她每次获奖概率为5%，十次评奖彼此独立。她留出6000元预算，认为一次获奖就能覆盖十次费用，准备连续参赛十次。

按题目给出的奖金、费用和胜率，哪种判断最站得住？